Математика по полочкам
Готовимся к экзамену по математике за период обучения на II ступени общего среднего образования
21. Задачи на совместную работу
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Задачи на работу
В таких задачах всегда присутствуют одни и те же величины, их три:
— первая величина — это время, за которое выполняется та или иная работа. Обозначают время буквой t.
— вторая величина — объём работы: сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Обозначим объем буквой О.
— третья величина — производительность. По сути, это скорость работы. Обозначим производительность буквой П.
Скорость любой работы, т.е. производительность можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время.
Получим формулу для производительности: П = О : t.
Пример. Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?
Пример. Красная Шапочка и Волк очень любят пирожки. Волк может съесть 24 пирожка за 4 часа, а Красная Шапочка — 35 пирожков за 7 часов. У Волка в корзинке 30 пирожков, а у Красной Шапочки — 20. Кто съест свои пирожки раньше, если они начали есть одновременно?
Задачи на совместную работу
Пример. Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая — за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?
Так как трубы работают вместе, складывают их производительности.
Для первой трубы, которая заполняет 1 бассейн за 4 часа: П = О:t = 1:4, т.е. за час первая труба заполнит 1/4 бассейна.
Для второй трубы: П = О:t = 1:6, т.е. вторая труба заполнит за час 1/6 бассейна.
Вместе, при совместной работе, трубы заполнят за час: 1/4 + 1/6 = 5/12 — две трубы за 1 час.
Объём работы 1 бассейн. Совместная производительность 5/12 бассейна в час.
t = О:П = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 (ч.)
Ответ:2,4 часа.
УПРАЖНЕНИЯ
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3. Два экскаватора роют траншею. Работая отдельно, первый может вырыть траншею за 10 дней, второй — за 16 дней. За сколько дней они выроют траншею, работая совместно?
4. Водоем заполняется первой трубой за 5 ч, а второй трубой за 4 ч. За сколько часов наполнится водоем, если будут одновременно работать две трубы?
5. Две наборщицы должны были набрать по 120 страниц каждая. Вторая наборщица набирала за 1 ч на 5 страниц меньше, чем первая, поэтому закончила работу на 2 ч позже. Сколько страниц в час набирала первая наборщица?
6. Две бригады рабочих должны по плану изготовить 240 деталей. Первая бригада работала 6 ч, а вторая — 5 ч. Сколько деталей в час изготавливала каждая бригада, если первая делала на 4 детали в час меньше, чем вторая?
Источник
15 комбайнов собрали весь урожай за 14 часов сколько комбайнов
2019-03-30 
Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 часов, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в совхозе?
Пусть в совхозе было $n$ комбайнов, один смог бы убрать весь урожай за $x$ часов непрерывной работы и при работе по плану все комбайны одновременно находились в поле $y$ часов. Так как все комбайны могут справиться с уборкой за 24 часа, а производительность одного комбайна $1/x$, то
$\frac<24>
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они сделали $n \frac<1>
$\frac
Так как $x = 24n$, то из этого уравнения можно выразить $y$ через $n$:
Наконец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения
Подставляя вместо $x$ и $y$ их выражения через $n$, придем к квадратному уравнению
$\left ( n+17 — \frac
Решая это уравнение, найдем, что $n_1 = 25, n_2 = -7$. Второй корень не имеет смысла.
Ответ. 25.
Источник