Корреляционный анализ показателей урожайности зерновых культур Ставропольского края

Структура посевных площадей зерновых культур Ставрополья. Индексный анализ показателей урожайности. Корреляционно-регрессионная модель процесса. Исследование временных рядов показателей урожайности зерновых культур на наличие циклической компоненты.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ Высшего профессионального образования

Северо-Кавказский государственный технический университет

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА № _____

Специальности «Прикладная математика»

Тема Корреляционный анализ показателей урожайности зерновых культур Ставропольского края

Студента Павликова Максима Михайловича

Рецензия на дипломный проект (работу)

1. Фамилия и инициалы студента Павликов Максим Михайлович

2. Курс 5 специальность 230401 «Прикладная_ математика»

3. Тема дипломного проекта (работы) Корреляционный анализ показателей урожайности зерновых культур Ставропольского края

4. Дата представления проекта (работы) на рецензию 15 июня 2011 года

5. Дата возвращения проекта (работы) 21 июня 2011 года

6. Фамилия, инициалы и должность рецензента Ледовской В.И. ведущий инженер, кандидат физико-математических наук

Дипломная работа Павликова М.М. посвящена корреляционному анализу показателей урожайности зерновых культур. Поскольку работа выполняется по заявке предприятия, ее тема представляется актуальной.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении обосновывается актуальность темы.

В первой главе даны основные понятия корреляционного анализа, проведен анализ посевных площадей Ставропольского края и индексный анализ.

Во второй главе на основе корреляционного анализа находится степень зависимости урожайности от трех факторов: материально-денежных затрат, внесения минеральных удобрений и внесение органических удобрений.

В третьей главе проводится автокорреляционный анализ, строится автокорреляционная функция, коррелограмма, и проводится расчет на перспективу.

В заключении кратко перечисляются самостоятельно полученные автором дипломной работы результаты.

В приложениях приводятся таблицы данных полученных по месту прохождения практики

В работе рассмотрен и проанализирован достаточный фактический материал, грамотно применены теоретические знания и практические навыки, полученные студентом в ходе обучения по специальности.

Работа выполнена в соответствии с требованиями, предъявляемыми к дипломным работам по специальности «Прикладная математика», заслуживает оценки «отлично», а ее автор достоин присвоения квалификации «Математик — инженер».

» » 2011 г. Подпись рецензента

Примечание: Рецензия должна содержать: заключения об актуальности темы; о степени соответствия выполненного проекта (работы) заданию; характеристику каждого раздела проекта и степени использования дипломником последних достижений науки и техники; оценку качества расчетно-пояснительной записки и графической части; перечень положительных качеств проекта и основных недостатков, критические замечания, предлагаемую оценку дипломного проекта (работы) и заключение о возможности присвоения студенту квалификации дипломированного специалиста (инженера) соответствующей специальности.

о работе студента Павликова Максима Михайловича

группы ПМ-061 над дипломным проектом (работой)

на тему: Корреляционный анализ показателей урожайности зерновых культур Ставропольского края

Руководитель проекта (работы) (звание, ф., и., о.)

доцент кафедры ПМ и КТ Щедрина Раиса Николаевна

I. Характеристика работы студента над составлением технической записи (самостоятельность, инициатива и настойчивость в работе, использование отечественной и зарубежной литературы, элементы исследования в работе, теоретическая и практическая подготовка)

В процессе написания дипломной работы студент использовал достаточно большой список литературы в том числе и зарубежной. Проведена большая работа в подборе методов прикладной математики. Значительную часть работы составляют самостоятельные исследования по индексному анализу, корреляционной зависимости, использовании временных рядов и расчет автокорреляции 1-го, 2-го и 3-го порядков. При выполнении работы студент проявил настойчивость и инициативность.

II. Характеристика работы студента над графической частью и оформление проекта

Работа оформлена в соответствии с методическими указаниями 2008 года. В работе приведены 10 рисунков и 21 таблица с данными полученными в результате самостоятельных исследований.

III. Соответствие объема выполненной работы с дипломным заданием

В работе проведен анализ структуры посевных площадей Ставропольского края и сделан индексный анализ показателей урожайности за базисный и отчетный периоды. Найдены коэффициенты урожайности зерновых культур от внесенных минеральных удобрений под посевы, от материально-денежных затрат, от внесенных органических удобрений под посевы. Показана зависимость между урожайностью зерновых культур и материально-денежных затрат, минеральных удобрений и органических удобрений вычислен коэффициент корреляции. Используя значения автокорреляционной функции определил цикличность и сделал прогноз урожайности на перспективу.

IV. Оценка работы студента

Дипломная работа Павликова М.М. соответствует всем требованиям, предъявляемым к дипломным работам по специальности «прикладная математика», содержит достаточный объем самостоятельно выполненных исследований. Работа может быть оценена оценкой «отлично», а ее автор заслуживает присвоения квалификации «математик — инженер».

1.ГЛАВА Й ОПИСАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Обзор литературы по теме исследований

1.2 Методические пояснения к данным по теме исследования

1.3 Функциональная, статическая и корреляционные зависимости

1.4 Структурная экономико-математическая модель задачи

1.5 Анализ структуры посевных площадей зерновых культур Ставропольского края

1.6 Индексный анализ показателей урожайности зерновых культур Ставропольского края

2.ГЛАВА II ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

2.1 Корреляционная зависимость урожайности зерновых культур от материально-денежных затрат

2.2 Корреляционная зависимость урожайности зерновых культур от внесенных минеральных удобрений

2.3 Корреляционная зависимость урожайности зерновых культур от внесенных органических удобрений

3.ГЛАВА III ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ НА НАЛИЧИЕ ЦИКЛИЧЕСКОЙ КОМПОНЕНТЫ

3.1 Автокорреляция уровней временного ряда материально-денежных затрат на выращивание зерновых культур Ставропольского края

3.2 Выявление структуры ряда материально-денежных затрат на выращивание зерновых культур Ставропольского края

3.3 Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда материально-денежных затрат на выращивание зерновых культур Ставропольского края

3.4 Автокорреляция уровней временного ряда внесенных минеральных удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.5 Выявление структуры ряда внесенных минеральных удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.6 Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда внесенных минеральных удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.7 Автокорреляция уровней временного ряда внесенных органических удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.8 Выявление структуры ряда внесенных органических удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.9 Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда внесенных органических удобрений под посевы зерновых культур Ставропольского края

3.10 Расчет урожайности на перспективу

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Урожай и урожайность — важнейшие результативные показатели растениеводства и сельскохозяйственного производства в целом. Уровень урожайности отражает воздействие экономических и приходных условий, в которых осуществляется сельскохозяйственное производство, и качество организационно-хозяйственной деятельности каждого предприятия[9].

Урожай характеризует общий объем производства продукции данной культуры, а урожайность — продуктивность этой культуры в конкретных условиях ее возделывания [6].

Задачи статистики урожая и урожайности состоят в том, чтобы правильно определить уровни урожая и урожайности и их изменения по сравнению с прошлыми периодами и планом; раскрыть, путем анализа, причины изменений в динамике и факторы, обусловившие различия в уровнях урожайности между зонами, районами, группами хозяйств; оценить эффективность различных факторов урожайности; выяснить неиспользованные резервы повышения урожайности.

В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иных статистических данных и т.д. С переходом отечественной экономики на рыночные отношения роль математических методов многократно возрастает. Действительно, центральная проблема экономики — это проблема рационального выбора. В плановой экономике (по крайней мере на микроуровне, т.е. на уровне отдельного предприятия) нет выбора, а значит, роль математического подхода сильно принижена. В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице надо самостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, становится необходимым математический расчет. Поэтому роль математических методов в экономике постоянно возрастает.

В чем видятся преимущества математического подхода? Отметим лишь два момента.

Возрастает необходимость в уточнении понятий. Математика по сути не может оперировать с нечетко, а тем более неконкретно определенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, то должны с самого начала четко сформулировать задачу. В том числе четко сформулировать все сделанные допущения.

Сильная продвинутость математических теорий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашим услугам очень мощный и развитый математический аппарат[10].

Разумеется, в использовании математических методов есть свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая задача. Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегает опасность заниматься математической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбы против этого — проверка опытными данными выводов математической теории.

Метеорологические условия оказывают существенное влияние на урожайность и качество возделываемых культур, на результаты деятельности сельскохозяйственных предприятий и на уровень удовлетворения потребностей общества в продуктах питания.

Академик Н.И. Вавилов подчеркивал, что климатические факторы в нашей стране являются определяющими в проблеме увеличения урожайности. В земледелии, при четкой заданности и последовательности всех проводимых работ, значение и учет условий погоды в различные периоды роста и развития сельскохозяйственных культур является необходимым звеном в деле получения высоких и стабильных урожаев. Своевременная и всесторонняя информация о текущих и ожидаемых погодных условиях с оценкой их роли в процессе формирования урожая помогает работникам сельского хозяйства учитывать складывающуюся в том или ином районе агрометеорологическую обстановку и, соответствующим образом используя технику, материальные средства и рабочую силу, повышать урожаи и сводить до минимума потери продукции из-за неблагоприятных погодных условий.

Климатические факторы оказывают комплексное и систематическое воздействие на урожайность и не поддаются общему измерению. Их эффект в каждом конкретном году можно определить лишь при сравнении многолетних данных урожайности, т.е. по разнице в урожаях, полученных в данном году и в среднем за много лет[7].

ГЛАВА I ОПИСАНИЕ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Обзор литературы по теме исследований

Для земледельца погодные условия — это объективный фактор производства, оказывающий существенное влияние на результаты его многодневного труда.

Погодные условия влияют на формирование урожаев практически на всех уровнях — от молекулярного, субклеточного, клеточного через ткани, органы и организмы до экологического уровня. Изучение и учет зависимостей между отдельными уровнями — это необходимое условие для понимания взаимосвязи погоды и урожайности.

Чтобы понять влияние метеорологических условий на урожайность растений, необходимо проанализировать действие каждого отдельного фактора погоды на процессы формирования урожая.

Г.В. Руднев (1978) в своей работе «Метеорология на службе урожая» отмечает роль температуры для развития растений. И выделяет роль температуры почвы, которая, — «является одним из важнейших факторов внешней среды, определяющих рост и развитие растений». Тепло, поступающее на поверхность земли от солнца в виде прямой и рассеянной радиации, расходуется на нагревание приземного слоя воздуха, испарение влаги, нагревания почвы.

Оно обусловливает биофизические и биохимические процессы, в том числе набухание и прорастание семян, жизнедеятельность микроорганизмов и т.п. Таким образом, первый период жизни растений находится в тесной зависимости от температуры почвы, влияние которой сохраняется в течение всего вегетационного периода.

Максимов С.А. («Погода и сельское хозяйство», 1963) пишет о важности температуры воздуха. Чем выше температура, тем больше скорость развития растений. Но, повышение температуры положительно сказывается на росте только до определенного предела. Дальнейшее повышение температуры отрицательно отражается на растениях. Определено, что для хорошего развития травостоя, в период от выхода в трубку до колошения для яровой пшеницы нужна температура воздуха около 15 -16 о С. Во время колошения необходима теплая, но не жаркая погода (от 16 до 18 о С). Во время налива зерна жаркая погода (выше 25 о С) вредна.

Понижение температуры цветения до 9 — 11 о С останавливает процесс оплодотворения цветка. При чрезмерно высоких температурах падает тургор, пыльца подсыхает и становится малоактивной, пыльники не растрескиваются и опыление не происходит.

Атмосферные осадки являются основным источником увлажнения сельскохозяйственных полей. Они определяют величину таких важных агроклиматических показателей, как запасы воды в снеге и продуктивной влаги в почве.

Для сельского хозяйства важно знать не только количество осадков, но и характер распределения их во времени. Даже при большом количестве осадков, но неравномерном их распределении, особенно в наиболее ответственные (критические) периоды роста и развития растений, можно получить малый урожай. Наоборот, при равномерном распределении даже меньшего количества осадков можно собрать большой урожай.

Е.К. Федоров (1973) в своей работе «Погода и урожай» приводит интересные данные об урожае яровой пшеницы на опытном поле ТСХА при различной обеспеченности растений влагой. Так, например, в вегетационный период 1953 г. на территории ТСХА выпало 419 мм осадков, причем распределение их было равномерным, что благоприятно сказалось на росте растений. Урожай пшеницы составил 40 ц/га. В 1951 г. выпало 242 мм осадков, и распределение их во времени было крайне неравномерным. Урожай этого года в несколько раз ниже, чем в 1953 г. В 1954 г. осадков выпало на 35 мм меньше, чем в 1951 г., но распределение их было более равномерным. При этом урожай пшеницы в 1954 г. был почти в два раза выше, чем в 1951 г.

Главным источником водоснабжения растений является почвенная влага. Широко известно мнение академика В.И. Вернадского о значении влаги. Он подчеркивал, что в биосфере не только вода неотделима от жизни, но и жизнь неотделима от воды и что почва жива, пока она влажная.

Согласно современным представлениям, запасы влаги в почве являются наиболее надежным показателем влагообеспеченности растений, комплексно синтезирующим влияние многих факторов: атмосферного увлажнения, типа и механического состава почвы, агротехники и произрастающих сельскохозяйственных культур.

Избыточное и недостаточное увлажнение почвы вредно сказывается на росте и развитии растений. При недостаточном количестве влаги растения не в полной мере используют ресурсы тепла и питания, а тепло тратится на испарение воды с поверхности почвы.

К.В. Кириличива (1969) в своих трудах указывает на значительную роль весеннего увлажнения почвы в формировании урожая яровых культур. В сельскохозяйственном производстве большой комплекс агротехнических мероприятий (система обработки почвы, снегонакопления, задержания талых вод и другие) направлены на накопление в почве к началу сева сельскохозяйственных культур оптимальных запасов влаги. На материалах наблюдений гидрометеостанций за десятилетие с 1958 по 1967 гг. Кириличива приводит пример зависимости урожая яровой пшеницы от весенних запасов влаги в почве в различных районах основной зоны ее возделывания (Поволжье, Южный Урал, Западная Сибирь и Северный Казахстан). Основное влияние уделялось южным районам Западной Сибири и северными областями Казахстана, где запасы влаги почвы к началу сева были крайне малы. Наибольшие колебания, как запасов влаги в почве в период сева пшеницы, так и ее урожайности наблюдаются в основных зерновых районах Омской и Павлодарской областей. Они характеризуются коэффициентом вариации, равным для запасов влаги в почве 34, для урожайности 64. Коэффициент корреляции между урожайностью и запасами влаги в почве здесь составил 0,42. Такие же коэффициенты получены на материалах Кокчетавской, Целиноградской и Новосибирской областей. Учитывая очень большое число факторов, влияющих на урожайность полученные коэффициенты корреляции можно считать достаточно высокими. При средних областных запасах влаги от 80 до 120 мм в 78% случаев урожайность в Новосибирской, Целиноградской и Кокчетавской областях была менее 5-ти ц/га, в 22% случаев от 5 до 9-ти ц/га. То есть при небольших значениях средних областных запасов влаги в почве велика вероятность получения низкой урожайности.

В.А. Сенников и А.П. Сляднев (1972) в своих работах указывают, что для интегральной оценки гидротермического режима применимы показатели, учитывающие основные факторы в жизни растений — тепло и влагу. Этим целям отвечает гидротермический коэффициент Селянинова (ГТК). Он употребляется в качестве показателя влагообеспеченности территории или в качестве показателя условий произрастания сельскохозяйственных культур. Условный баланс влаги, каким является ГТК, привлекает простотой расчета, наличием полной метеорологической информации для этих целей (осадки, температура), возможностью использования практически данных всех станций. ГТК также отражает зональные особенности гидротермического режима.

1.2 Методические пояснения к данным по теме исследования

По категории “сельскохозяйственные организации” показаны данные по закрытым и открытым акционерным обществам, производственным кооперативам, обществам с ограниченной ответственностью, унитарным предприятиям, подсобным хозяйствам промышленных, транспортных, других организаций, научно-исследовательских организаций и учреждений.

К хозяйствам населения относятся личные подсобные хозяйства граждан, садовые, огородные и дачные земельные участки и др. Личные подсобные хозяйства (приусадебное землепользование) — это форма сельскохозяйственного производства, осуществляемого личным трудом гражданина или членов его семьи в целях удовлетворения потребностей продовольствия и иных нуждах.

Садовые, огородные и дачные земельные участки — форма землепользования, при которой земля отводится гражданам или приобретается ими для выращивания сельскохозяйственных культур или отдыха, организованная на добровольных началах садоводческие, огороднические или дачные некоммерческие объединения.

Крестьянское (фермерское) хозяйство — форма свободного предпринимательства. На основе использования находящейся в его собственности или арендованной им земли и имущества фермер осуществляет производство, переработку и реализацию сельскохозяйственной продукции.

Продукция сельского хозяйства представляет собой сумму продукции растениеводства и животноводства в стоимостной оценке по фактическим ценам года. Для исчисления структуры и индексов физического объема продукции сельского хозяйства используется показатель ее объема в сопоставимых ценах.

Продукция растениеводства включает стоимость сырых продуктов, полученных от урожая отчетного года — зерна, технических культур, картофеля, овощей и бахчевых культур, плодов и ягод, кормовых культур, семян и посадочного материала, многолетних насаждений, а также стоимость незавершенного производства в растениеводстве от начала к концу года.

Продукция животноводства включает стоимость сырых продуктов, полученных от сельскохозяйственных животных и птицы (молока, шерсти, яиц и др.), стоимость выращивания скота и птицы в отчетном году, (приплода, прироста, привеса), стоимость продукции пчеловодства и др.

Для исчисления индекса физического объема продукции сельского хозяйства используется показатель ее объема в сопоставимых ценах. Индекс физического объема продукции сельского хозяйства — относительный показатель, характеризующий изменение массы произведенных продуктов растениеводства и животноводства в сравниваемых периодах.

Рентабельность (убыточность) характеризуется отношением прибыли (убытка) к себестоимости реализованной продукции, работ и услуг.

Посевная площадь — пашня, используемая под посев сельскохозяйственных культур, включая многолетние травы и пары.

Валовой сбор сельскохозяйственных культур включает в себя объем собранной продукции, как с основных, так и с повторных и междурядных посевов в сельскохозяйственных организациях, крестьянских (фермерских) хозяйствах и хозяйствах населения.

В объем реализации включается продажа продукции сельскохозяйственными организациями по всем каналам: организациям, осуществляющим закупку, на рынке, биржах, аукционах, через собственную торговую сеть и организации общественного питания, по бартеру и др.

Информация о продовольственных ресурсах и их использовании формируется на базе данных форм федерального государственного статистического наблюдения организаций обрабатывающих производств, сельского хозяйства, торговли, обследования домашних хозяйств, данных таможенной статистики и других, характеризующих источники образования продовольственных ресурсов и направления их использования за календарный год.

1.3 Функциональная, статическая и корреляционная зависимости

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин. Рассмотрим сначала зависимость Y от одной случайной (или неслучайной) величины X, а затем от нескольких случайных величин[1].

Две случайные величины могут быть связанны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе величины или одна из них подвержены ещё действию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость.

Например, если Y зависимость от случайных факторов , , , , а X зависит от случайных факторов , , , то между Y и X имеется статистическая зависимость, так как среди случайных факторов есть общие, а именно: и .

Статистической называют зависимость при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Приведем пример случайной величины Y, которая не связана с величиной X функционально, а связана корреляционно. Пусть Y- урожай зерна, X- количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесённых удобрений снимают различный урожай, т.е. Y не является функцией от X. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и др.). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е. Y связан с X корреляционной зависимостью.

В качестве оценок условных математических ожиданий принимают условные средние, которые находят по данным наблюдений (по выборке) [2]..

Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих X=x. Например, если при =2 величина Y приняла значения =5, =6, =10, то условное среднее =(5+6+10)/3=7.

Аналогично определяется условное среднее .

Условным средним , называют среднее арифметическое наблюдавшихся значений X, соответствующих Y=y.

Выборочное уравнение регрессии

Условное математическое ожидание M(Y|x) является функцией от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднее , также функция от х; обозначив эту функцию через f*(x), получим уравнение

Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на X; функцию f*(x) называют выборочной регрессией Y на X, а ее график — выборочной линией регрессии Y на X [5].. Аналогично уравнение

Называют выборочным уравнением регрессии X на Y; функцию называют выборочной регрессией X на Y, а ее график — выборочной линией регрессии X на Y.

Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированным данным.

Пусть изучается система количественных признаков(X,Y). В результате n независимых опытов получили n пар чисел (), (),…,()[4].

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать уравнение

регрессии Y на X.

Поскольку различные значения х признака Х и соответствующее им значение y соответствующего Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так

Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через ; он является оценкой коэффициента регрессии .

Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида

Подберем параметры и b , так, чтобы точки (), (),…,(), построенные по данным наблюдений, на плоскости xOy, лежали как можно ближе к прямой (1). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность

зерновые урожайность корреляционный индексный

Где -вычисленное по уравнению (1) ордината, соответствующее наблюдаемому значению ; -наблюдаемая ордината, соответствующая .

Подберем параметры…..так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной ( в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Т.к. каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров ( временно вместо будем писать ):

Для отыскания минимума прировняем нулю соответствующие частные производные

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений и b

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y:

Где -выборочный коэффициент регрессии X на Y

При большом числе наблюдений одно и то значение х может встретиться n_х раз, одно и то же значение у—n_у раз, одна и та же пара чисел (х, у) может: наблюдаться n_ху раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты n_х, n_у, n_ху. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Поясним устройство корреляционной таблицы на примере таблицы 1.

Источник