Почва покрыта слоем льда толщиной 2 см находящегося при температуре 0 определите толщину
2016-09-04 
Оцените, на какую величину $\Delta x$ за сутки увеличивается толщина льда, покрывающего водоём, при температуре окружающей среды $t = — 20^< \circ>C$. В начале похолодания толщина льда была равна $h = 20 см$. Теплопроводность льда $k = 2,2 Вт/(м \cdot К)$, его удельная теплота плавления $\lambda = 3,35 \cdot 10^ <5>Дж/кг$, а плотность $\rho = 900 кг/м^<3>$.
Предположим, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров:
$\lambda \rho S dx = k \frac
где $S$ — площадь поверхности льда, $x$ — толщина льда, $t_ <0>= 0^< \circ>C$,$dx$ — толщина льда, образовавшегося за время $d \tau$. Распределение температуры внутри льда полагаем линейным. Интегрируя (1) с учётом того, что при изменении времени $\tau$ от $0$ до $\Delta = 24$ часа толщина льда $x$ изменяется от $h$ до $h + \Delta x$, получим квадратное уравнение относительно $\Delta x$:
$\Delta x^ <2>+ 2 \Delta xh — \frac <2k(t_<0>– t) \Delta \tau> < \lambda \rho>= 0$.
Решение этого уравнения даёт ответ:
$\Delta x = h \left ( \sqrt< 1 + \frac<2k(t_<0>-t) \Delta \tau>< \lambda \rho h^<2>>> — 1 \right ) \approx 1,2 см$
Замечание. Приведённое решение не учитывает многих обстоятельств, имеющих место при замерзании реального водоёма, и поэтому является скорее оценочным, чем точным. Например, мы предположили, что всё количество теплоты, выделяемое при замерзании воды, должно передаться в окружающую среду через ледяной покров. Это действительно было бы верно при условии, что к моменту начала образования льда вся вода в водоёме уже остыла до температуры $0< \circ>C$. Но вода, как известно, имеет максимальную плотность при температуре примерно $+4^< \circ>C$ (и меньшую плотность как при больших, так и при меньших температурах). Поэтому вся вода, остывшая на поверхности водоёма до температуры $+4^ < \circ>C$, «утонет» и соберётся на дне. Теплота от этой «подстилки», имеющей температуру около $+4^< \circ>$, также будет передаваться (по механизму теплопроводности) более холодным верхним слоям воды и далее образующемуся льду и атмосфере.
Источник
Почва покрыта слоем льда толщиной 2 см находящегося при температуре 0 определите толщину
2016-10-20
После тёплых дней резко ударил мороз, и поверхность озера покрылась льдом. Через сутки после похолодания толщина льда составила $d_ <1>= 3 см$. Строителям требуется переправить груз на противоположный берег озера, но для безопасности требуется лёд толщиной не менее $d_ <2>= 10 см$. Через сколько дней после установления морозов можно осуществить перевозку груза, если погода не изменится, а меры по искусственному ускорению процесса наращивания льда не предпринимаются?
Лёд на поверхности озера образуется из-за оттока тепла от воды через толщу льда. Процесс этот достаточно медленный, поэтому будем считать, что внутри льда в любой момент времени существует стационарное — линейное — распределение температуры по толщине. Кроме того, будем пренебрегать малым количеством тепла, выделяющимся за счёт постепенного охлаждения нарастающего слоя льда, по сравнению с теплотой кристаллизации воды. Пусть в некоторый момент времени $t$ слой льда имеет толщину $x$. Тогда количество теплоты $\Delta Q$, проходящее за малый промежуток времени $\Delta t$ через ледяной цилиндр с площадью основания $S$, равно
$\Delta Q = \eta \frac< \Delta T>
где $\Delta T$ — постоянная разность температур между водой и воздухом, $\eta$ — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности.
Эта теплота отнимается от небольшого слоя воды, непосредственно примыкающего ко льду и превращающегося при замерзании в слой льда толщиной $\Delta x$:
$\Delta Q = \lambda \Delta m = \lambda \rho S \Delta x$,
где $\rho$ — плотность льда, $\lambda$ — удельная теплота замерзания воды. Приравнивая записанные выражения, получим, что
$x \Delta x = \Delta \left ( \frac
то есть толщина слоя льда увеличивается пропорционально корню квадратному из времени, прошедшего с момента, когда мороз «ударил».
Следовательно, если за время $\tau_ <1>= 1 сутки$ на озере нарос слой льда толщиной $d_ <1>= 3 см$, то слой толщиной $d_ <2>= 10 см$ нарастёт за время
$\tau_ <2>= \tau_ <1>\left ( \frac
Заметим, что наращивание слоя льда можно осуществить гораздо быстрее, если насверлить в нём лунки и с помощью насосов поливать водой из озера поверхность льда, находящуюся при низкой температуре. Именно так во время блокады Ленинграда строили «дорогу жизни» на Ладожском озере.
Источник